No entres en pánico. Vas a aprobar hoy.
Este examen evalúa 5 habilidades fundamentales: Dominio/Rango, Ángulos coterminales y círculo unitario, Triángulos en cuadrantes, Composiciones de funciones inversas, y Graficar seno/coseno ($A, B, C, D$). Aquí tienes la receta exacta explicada como a un programador.
Chuleta de Emergencia (Memorizar en 3 Minutos)
Si solo tienes tiempo para mirar una cosa antes de entrar al aula, ES ESTA.
Dominio y CV (Rango) de Oro
Signos por Cuadrante (CAST)
Gráficas: $y = A\sin(Bx + C) + D$
- 1. Amplitud: $|A|$ (siempre positivo).
- 2. Periodo: $T = \frac{2\pi}{B}$ (para seno y coseno).
- 3. Desfase (Fase): Resuelve $Bx + C = 0 \implies x = -\frac{C}{B}$.
- 4. Subintervalo clave: $\Delta x = \frac{T}{4}$. Sumas este paso para hallar los 5 puntos clave.
Pareo: Dominios y Conjuntos de Valores (CV / Rango)
| # | Función solicitada | Letra | Valor Matemático | ¿Por qué? (La lógica para memorizar) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $CV(\cos x)$ | c | $[-1, 1]$ | La onda del coseno sube como máximo a 1 y baja a -1. |
| 2 | $Dom(\cot x)$ | a | $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \text{ entero}\}$ | $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Se indefine cuando $\sin x = 0$, o sea en múltiplos de $\pi$ ($\dots, -\pi, 0, \pi, 2\pi\dots$). |
| 3 | $CV(\sec x)$ | e | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ | $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. Como $|\cos x| \le 1$, su inverso siempre es mayor o igual a 1 en valor absoluto. Nunca vive entre -1 y 1. |
| 4 | $Dom(\tan x)$ | b | $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi k}{2}, k \text{ impar}\}$ | $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Tiene asíntotas donde $\cos x = 0$ (en $\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}$, múltiplos impares). |
| 5 | $CV(\cot x)$ | d | $\mathbb{R}$ | La cotangente va desde $-\infty$ hasta $+\infty$ verticalmente. |
| 6 | $Dom(\csc x)$ | a | $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \text{ entero}\}$ | $\csc x = \frac{1}{\sin x}$. Al igual que $\cot x$, se indefine cuando $\sin x = 0 \implies x = \pi k$. |
| 7 | $CV(\csc x)$ | e | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ | Idéntico a $\sec x$: la cosecante vive fuera de $(-1, 1)$. |
| 8 | $CV(\sin^{-1} x)$ | f | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ | Regla clave de inversas: El arco seno solo devuelve ángulos en el lado derecho del círculo unitario (Cuadrantes IV y I). |
| 9 | $CV(\cos^{-1} x)$ | g | $[0, \pi]$ | El arco coseno devuelve ángulos en la mitad superior del círculo (Cuadrantes I y II). |
| 10 | $Dom(\tan^{-1} x)$ | d | $\mathbb{R}$ | El dominio de la función inversa es el rango de la función original: $Dom(\tan^{-1}) = CV(\tan) = \mathbb{R}$. |
¿Te lo aprendiste? Practica en 30 segundos
Aciertos: 0 / 10Encuentre el valor exacto de las siguientes expresiones
Sin calculadora: paso a paso con reducción a ángulos coterminales y ángulo de referencia.
$$\sin\left(-\frac{7\pi}{2}\right)$$
Paso 1: Ángulo coterminal positivo
Sumamos vueltas completas ($2\pi = \frac{4\pi}{2}$):
$-\frac{7\pi}{2} + 2(2\pi) = -\frac{7\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$
Paso 2: Evaluar en el círculo unitario
El ángulo $\frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$) apunta directamente hacia arriba al punto $(0, 1)$:
$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = y = 1$
$$4\cos\left(-\frac{17\pi}{6}\right)$$
Paso 1: Propiedad de paridad del coseno
El coseno es par: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$:
$\cos\left(-\frac{17\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{17\pi}{6}\right)$
Paso 2: Restar una vuelta ($2\pi = \frac{12\pi}{6}$)
$\frac{17\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (Cuadrante II)
Paso 3: Ángulo de referencia y signo
En QII el coseno es negativo. Ángulo ref = $\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ ($30^\circ$):
$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Paso 4: Multiplicar por 4
$4 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2\sqrt{3}$
$$-2\cot\left(\frac{11\pi}{3}\right)$$
Paso 1: Ángulo coterminal
Restamos una vuelta completa ($2\pi = \frac{6\pi}{3}$):
$\frac{11\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ (Cuadrante IV)
Paso 2: Signo y referencia en Cuadrante IV
En QIV, $x > 0$ y $y < 0 \implies \cot < 0$.
Ángulo de referencia: $2\pi - \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$):
$\cot\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Paso 3: Multiplicar por -2
$-2 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = +\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Triángulo en Posición Estándar & Resto de las 5 Funciones
Enunciado: Si $\theta$ es un ángulo en posición estándar tal que $\cot\theta = -2$, y $\cos\theta < 0$, encuentre el valor exacto del resto de las funciones trigonométricas.
Paso 1: ¿En qué cuadrante vive $\theta$?
$\cot\theta = -2 < 0 \implies$ La cotangente es negativa en los Cuadrantes II y IV.
$\cos\theta < 0 \implies$ El coseno es negativo en los Cuadrantes II y III.
Intersección obligatoria: Cuadrante II ($x < 0, y > 0$).
Paso 2: Determinar $x$, $y$ y el radio $r$
Por definición: $\cot\theta = \frac{x}{y} = \frac{-2}{1}$.
Como estamos en QII: $x = -2$ (negativo) y $y = 1$ (positivo).
Paso 3: Las 5 funciones restantes (Racionalizadas)
¡Dibuja siempre este triángulo en el examen! Los profesores en UPR dan puntos por el procedimiento gráfico.
Encontrar la función inversa $f^{-1}(x)$
Enunciado: Encuentre $f^{-1}(x)$ si $f(x) = -5\cos(x + \pi) + 4$ para $-\pi \le x \le 0$.
Reemplazar $f(x)$ por $y$ para despejar algebraicamente la $x$.
Dividir entre $-5$ invierte los signos: $\frac{y-4}{-5} = \frac{4-y}{5}$.
Como $-\pi \le x \le 0$, sumando $\pi$: $0 \le x+\pi \le \pi$. ¡Coincide exactamente con el rango principal de $\arccos$!
Cambiamos $y$ por $x$ para la forma canónica de $f^{-1}(x)$.
Deducción de la Ecuación de la Función $f$
Enunciado: Si a continuación se muestra un ciclo de la función $f$, encuentre la ecuación de $f$.
Valor máximo $= 3$, Valor mínimo $= -3$.
Línea media $D = \frac{3 + (-3)}{2} = 0$.
Amplitud $|A| = \frac{3 - (-3)}{2} = 3$.
El ciclo completo va de $x = 0$ a $x = 16$.
Periodo $T = 16 - 0 = 16$.
$$B = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8}$$
Una curva cosenoidal estándar $\cos(x)$ arranca en el máximo en $x=0$. Esta curva arranca en el mínimo $(0, -3)$, lo que significa que es un coseno reflejado verticalmente ($A = -3$) sin desfase horizontal ($C = 0$).
Composición de Funciones Trigonométricas Inversas
Enunciado: Encuentre el valor exacto. En el caso de que el valor no esté definido, indíquelo.
$$\tan\left[\tan^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right)\right]$$
Como $-\frac{3}{4} \in \mathbb{R}$, la función y su inversa simplemente se cancelan de manera directa.
$$\sin^{-1}\left[\sin\left(\frac{7\pi}{10}\right)\right]$$
¡NO ES $\frac{7\pi}{10}$!
El rango de $\sin^{-1}$ es exclusivamente $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ (o $[-0.5\pi, 0.5\pi]$).
Pero $\frac{7\pi}{10} = 0.7\pi > 0.5\pi$. ¡Está en el Cuadrante II!
$\sin\left(\frac{7\pi}{10}\right) = \sin\left(\pi - \frac{7\pi}{10}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{10}\right)$
Como $\frac{3\pi}{10} = 0.3\pi \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, ahora sí podemos aplicar la inversa.
$$\tan^{-1}\left[\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right]$$
Paso 1: Evaluar la función interna
$-\frac{3\pi}{4}$ está en el Cuadrante III (o por imparidad $-\sin(\frac{3\pi}{4})$):
$$\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Paso 2: Evaluar la función externa
Por imparidad de la arcotangente $\tan^{-1}(-u) = -\tan^{-1}(u)$:
$$\tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
(Como $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ no es una tangente notable como $1$ o $\sqrt{3}$, se deja expresado así en forma exacta).
$$\sec\left[\sin^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)\right]$$
Paso 1: Definir el ángulo interior $\alpha$
Sea $\alpha = \sin^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) \implies \sin\alpha = -\frac{3}{5}$.
Como el rango de $\sin^{-1}$ es $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ y el valor es negativo, $\alpha$ está en el Cuadrante IV.
Paso 2: Triángulo rectángulo ($y = -3, r = 5$)
En QIV, $x$ es positivo:
$$x = \sqrt{r^2 - y^2} = \sqrt{5^2 - (-3)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
Paso 3: Calcular la secante
$$\cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{4}{5} \implies \sec\alpha = \frac{r}{x} = \frac{5}{4}$$
Análisis y Gráfica de Onda Seno: $f(x) = -3\sin\left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right)$
Amplitud $= |A| = |-3| = 3$ (Siempre positiva)
Periodo $T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$
$\pi x + \frac{\pi}{2} = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$
Tabla de 5 Puntos Clave (Paso $\Delta x = \frac{T}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$):
| x | $\pi x + \pi/2$ | $\sin(\dots)$ | y = f(x) | Rol |
|---|---|---|---|---|
| -0.5 | 0 | 0 | 0 | Inicio |
| 0 | $\pi/2$ | 1 | -3 | Mínimo |
| 0.5 | $\pi$ | 0 | 0 | Medio |
| 1 | $3\pi/2$ | -1 | 3 | Máximo |
| 1.5 | $2\pi$ | 0 | 0 | Fin ciclo |
*Nota pedagógica: Como el factor es $-3$, la onda seno se invierte: va hacia abajo primero hasta $-3$ en $x=0$, y luego sube a su máximo $3$ en $x=1$.
Análisis y Gráfica de Onda Coseno: $g(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 1$
Amplitud $= |A| = |2| = 2$
Periodo $T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$
Tabla de 5 Puntos Clave ($\Delta x = \frac{4}{4} = 1$ en $[0, 4]$):
| x | $\frac{\pi}{2}x$ | $\cos(\dots)$ | g(x) = 2(cos) + 1 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 3 (Máximo) |
| 1 | $\pi/2$ | 0 | 1 (Línea media) |
| 2 | $\pi$ | -1 | -1 (Mínimo) |
| 3 | $3\pi/2$ | 0 | 1 (Línea media) |
| 4 | $2\pi$ | 1 | 3 (Máximo) |
Desplazamiento Vertical ($D = +1$):
La línea central sube a $y = 1$.
Máximo: $1 + 2 = 3$. Mínimo: $1 - 2 = -1$.
Ejercicios de Bono: Trampas y Soluciones
$$\cos\left[\cos^{-1}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]$$
Mucha gente piensa "coseno con arccoseno se cancelan y da $\frac{\pi}{3}$". ¡ESTÁ MAL!
¿Cuál es el dominio de la función $\cos^{-1}(u)$?
El dominio de $\cos^{-1}(u)$ es exclusivamente $[-1, 1]$.
$$\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.0472 > 1$$
Como $\frac{\pi}{3} > 1$, el valor está fuera del dominio. Por lo tanto, el arccoseno no existe en los números reales.
$$\cos(\log_3 x) = -1$$
Paso 1: ¿Dónde el coseno vale -1?
En el círculo unitario, $\cos\theta = -1$ ocurre en $\theta = \pi$ (o $\pi + 2\pi k$).
$$\log_3 x = \pi$$
Paso 2: Aplicar la definición de logaritmo
Por definición: $\log_b(A) = C \iff A = b^C$. Aquí la base es $b = 3$:
$$x = 3^\pi$$
(Valor aproximado: $3^{3.14159} \approx 31.544$. Como el enunciado pide "una solución", $x = 3^\pi$ es la respuesta exacta y perfecta).